滾雪球抽樣能夠估計母體？

「你這滾雪球抽樣，可能總同一群人，難以了解更異質的群體……」「滾雪球如果一開始找到錯的人，一路滾下去就會出問題……」質性研究在針對社會邊緣人士、次團體進行訪談時，因為研究對象難以接觸，經常會以滾雪球的方式徵詢受訪者。許多人認為會是滾雪球面臨的問題，滾出來的人經常差異不大。

但事實上，統計學家、社會網絡學家，早已對滾雪球做過不少研究（學術上通常稱之RDS, Respondent-Driven Sampling）。只要符合一些假定，不論一開始找誰滾雪球，在數波滾雪球後，樣本分配會趨近於平衡，甚至可以反應母體分配。

小世界網絡與Watts的小手段

有個有趣的實驗大家一定聽過，就是一個人在美國西岸，寄信給美國東岸的陌生人，平均只需要經過六步，就可以送達。這個「六度分隔實驗」背後的概念就是「小世界」。


小世界的概念簡單來說，就是世界上的人們各自群聚，大家分裂成東一塊、西一塊的，但是隨意的兩個人之間，卻能透過很短的步數連結起來。以送信的實驗為例子，美國的每個郡裡面的人民各自群聚，有很多的連結；而郡跟其他郡之間的人很少有連結，但是美國的任意兩個人，卻還是能透過六步的距離連起來。

夜市麻將賓果中獎率高嗎？

每次去夜市，都會看到「麻將賓果」這樣遊戲。這個遊戲規則通常是100元可以玩6局，每局抽15張麻將牌，在6*6的賓果上對獎，連成一線即中獎；當沒有連成一線，但有湊滿5張牌時即「聽牌」，可以再抽3張。如果中獎，可以得到娃娃一隻，或是其他獎品。

夜市麻將（圖片來源 CC授權）

那麼這個遊戲到底中獎律高不高呢？這當然可以用機率算，在不考慮聽牌規則的機率算法如下：

那有聽牌規則下的中獎機率呢？好複雜我也不想多想了，這種問題，就交給電腦處理吧！電腦不就是用來處理複雜、龐大的計算嗎。我用R寫了一個麻將賓果模擬程序，請它跑了100萬次，結果如下圖。

在有聽牌機制的情況下，連成一線的機率為 10.493%，連成二線的機率為 0.288%，連成三線的機率為 0.0015%。所以100元玩6局的得獎率為1-(1-10.7825)^6，大概是近五成。你覺得這樣的機率高不高呢？

另外，如果沒有聽牌機制，抽15張就連成一條線的機率大約只有3.56%，很低呢！

不過既然都做模擬了，我們就來看一下各種條件下，獲勝的機率是多少吧。黑色的線代表花100元獲獎的機率，紅色代表單一局獲勝的機率。

其實從上面的圖可以看出，夜市麻將「100元玩6局，每局抽15張牌，聽牌再抽3張」讓玩家獲勝的機率拿捏的剛剛好，是很有數學根據的！

這邊也釋出我寫的模擬程式以及code，如果你有裝R，可以直接點開 夜市麻將模擬器.Rdata，就會載入function了。

output<- mahjong(nmahjong = 15, draw = 3, games = 6, simula = 100000)

nmahjong是每局抽的牌數，draw是聽牌再抽的數量，games是100元玩的局數，simula是模擬次數。上面的數字都是可以隨意更改的，也可以直接mahjong()就會按照預設值跑出來。R的計算速度其實很慢，不建議模擬超過百萬次。